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数列通项与数列求和

核心导读:一. 教学内容:数列通项与数列求和 二. 教学要求: n求an时,用公式an=Sn-1要注意a1应由an+1-f(n),f(an+1=q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法). 2、数列的前n项和 (1)数列求和的常用有:公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、

一. 教学内容:数列通项与数列求和

二. 教学要求:

n求an时,用公式an=Sn-1要注意a1应由an+1-f(n),f(an+1=q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).

2、数列的前n项和

(1)数列求和的常用有:公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前n项和,一般有下列几种方法:

(2)等差数列的前n= = .

(3)等比数列的前q=1时,Sq≠1时,Sn的数列,求前n项和时,应注意讨论n的奇偶性。

③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前 , 是等比数列,并求 ,∴

假设存在某个 ,则可以推出与 矛盾。

∴ 。

例2. 在数列 =n? 的表达式。

的前n项和Sn的公式,求

例4. 设数列解:设

例5. (天津文20)在数列 中, , .

(I)证明数列 是等比数列;

(II)求数列 的前 项和 ,得

又 是首项为 ,且公比为 ,于是数列 的通项公式为

所以数列 的前 项和 .

例6. 已知数列:1, , ,求它的前n项的和Sn.

解:∵ + +……+

= ∴an=2-

则原数列可以表示为:

(2-1), , ,…前n=(2-1)+ +…+=2

=2 =2n-2= +2n-2

例7. 已知数列{n项和Sn2-9(1)求证:{ n的最小值及相应的n项和为Tn,求T解:(1)a1=S1=-8

an=Sn-1=2

∴ n-10 an=2

∴ {n=n2-9n- )2-

∴当n=4或n有最小值-20.

(3)n-10 ∴ an = 2an≥0 n≤4时,n

Tn= ,当n=-a2-a4+a6+…+=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=S=n2-9n2-9n=

数列 项和。

,求前 项和。

例11. 已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1),若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1),

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)设数列{cn}对任意的自然数n均有: ,求数列{cn}的前n项和Sn.

解:(1) d-2)2,d2,a3-a1=2d2-(d-2)2=2d,解之得a1=0,n-1)

又b1=(q-2)2,q2,b3=b1q2

即q2=(q-2)2q=3

∴b1=1,n-1

(2)

n

=4(1×30+2×31+3×32+…+ n-1)

设n×3 1×31+2×32+3×33+…+n×3 1+3+32+33+…+3n×3 n?n

∴Sn=2n?3n+1

【模拟

1. 数列 =

3. 数列{ 的前20项和为

4. 已知数列 的通项公式为

5. 设 则 的值为

6. 求数列1, 的前 项和。

7. 数列 的前 项和 项和 ___________

9. 数列 的前 项和为

10. 求和: 项和的公式的方法,可求得

, ,求:13. 已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f (x)=(x-1)2,且a1 = f (d-1),a3 = f (d 1),b1 = f (q 1),b3 = f (q-1),求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

【试题答案】

1. ,

7.

8. 1

9.

10.

11.




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